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微积分公式与方法速查表

包含微分万能公式操作流程、LIATE 优先级口诀与 DI 表格积分法。支持 A4 打印与 PDF 导出。

微积分公式与方法速查表

Math Core Methods Cheat Sheet

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1. 微分万能公式 (Universal Formula)

定义

利用一阶微分形式不变性，把链式法则写成逐层微分的形式。

$$\mathrm{d}y=\mathrm{d}(f(◻))=f^{\prime }(◻)\mathrm{d}(◻)$$

操作流程

1. 观察：识别最外层函数 $f$ 和内层函数 $◻$。
2. 处理外层：对最外层求导 $f^{\prime }(◻)$，保留内层不动。
3. 填空：在微分号 $\mathrm{d}$ 后填入内层函数 $◻$，继续对 $\mathrm{d}(◻)$ 重复上述步骤。

实战示例

求 $y=\ln (\sin (e^x))$ 的微分：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}y& =\mathrm{d}(\ln (\sin (e^x)))\\ & =\frac{1}{\sin (e^x)}\mathrm{d}(\sin (e^x))\text{(剥去 ln)}\\ & =\frac{1}{\sin (e^x)}\cos (e^x)\mathrm{d}(e^x)\text{(剥去 sin)}\\ & =\cot (e^x)e^x\mathrm{d}x\text{(剥去 e)}\end{array}$$

继续学习隐函数、参数方程求导等用法，可查看 微分万能公式详解。

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2. DI Method (表格积分法)

定义

分部积分法 $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ 的表格化版本，特别适用于多次分部积分。

LIATE 选取规则

选取 D 列 (求导) 和 I 列 (积分) 的优先级：

1. Logarithmic (对数) $\to$ 优先 D
2. Inverse Trig (反三角) $\to$ 优先 D
3. Algebraic (代数/多项式) $\to$ 视情况 (通常 D)
4. Trigonometric (三角) $\to$ I
5. Exponential (指数) $\to$ I

实战示例

求 $\int x^2{e}^{2x}\mathrm{d}x$：

符号	D (求导)	I (积分)
$+$	$x^2$	$e^{2x}$
$-$	$2x$	$\frac{1}{2}{e}^{2x}$
$+$	$2$	$\frac{1}{4}{e}^{2x}$
$-$	$0$	$\frac{1}{8}{e}^{2x}$

结果 (对角线相乘求和)：

$$\int x^2{e}^{2x}\mathrm{d}x=(x^2\cdot \frac{1}{2}{e}^{2x})-(2x\cdot \frac{1}{4}{e}^{2x})+(2\cdot \frac{1}{8}{e}^{2x})+C$$$$=\frac{1}{2}{x}^2{e}^{2x}-\frac{1}{2}x{e}^{2x}+\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$$

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