线性代数

初等变换的直观理解

初等变换用于描述矩阵的基本行列操作，也是高斯消元、求逆矩阵和矩阵方程求解的基础。

“

“左乘初等矩阵对应行变换，右乘初等矩阵对应列变换。”

MatNoble

在矩阵计算中，初等变换主要分为三类：交换、倍乘和倍加。需要记住的规则是：左乘行，右乘列。

1. 交换变换 (Swap)

交换坐标轴的顺序。

行交换 (Row Swap)

左乘一个交换矩阵 $E_{ij}$，实现第 $i$ 行与第 $j$ 行对调。

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$$

列交换 (Col Swap)

右乘一个交换矩阵 $E_{ij}$，实现第 $i$ 列与第 $j$ 列对调。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$$

2. 倍乘变换 (Stretch)

在特定维度上的拉伸或压缩。

行倍乘 (Row Stretch)

左乘对角矩阵，对特定行进行缩放。

$$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 4\end{array}\right]$$

列倍乘 (Col Stretch)

右乘对角矩阵，对特定列进行缩放。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 6& 4\end{array}\right]$$

3. 倍加变换 (Shear)

消元法中的倍加变换可以看成保持面积/体积不变的错切。

行倍加 (Row Shear)

将一行的倍数加到另一行。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}7& 10\\ 3& 4\end{array}\right]$$

列倍加 (Col Shear)

将一列的倍数加到另一列。

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 3& 10\end{array}\right]$$

4. 综合应用：求逆与方程求解

初等变换常用于求逆矩阵、解线性方程组和处理矩阵方程。

求逆矩阵 (Matrix Inversion)

求逆可以理解为寻找一组初等变换，将 $A$ 化为单位矩阵 $I$。

行变换求逆

构造增广矩阵 $(A|I)$，通过行变换将其化为 $(I|A^{-1})$。

$$E_n\dots E_{1}A=I⟹A^{-1}=E_n\dots E_{1}I$$

列变换求逆

构造增广矩阵 $\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]$，通过列变换将其化为 $\left[\begin{array}{c}I\\ A^{-1}\end{array}\right]$。

$$A{E}_1\dots E_n=I⟹A^{-1}=I{E}_1\dots E_n$$

解矩阵方程 (Solving Matrix Equations)

根据变量 $X$ 的位置，决定使用行变换还是列变换。

求解 $AX=B$

$X$ 在 A 的右侧，故对 A 进行行变换。构造 $(A|B)$，化为 $(I|X)$。

$$X=A^{-1}B$$

求解 $XA=B$

$X$ 在 A 的左侧，故对 A 进行列变换。构造 $\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right]$，化为 $\left[\begin{array}{c}I\\ X\end{array}\right]$。

$$X=B{A}^{-1}$$

结语

初等变换把矩阵运算拆成可追踪的基本步骤。理解左乘和右乘的区别，有助于后续学习逆矩阵、秩和矩阵化简。